Σαν σήμερα, 30 Απριλίου 1777, γεννήθηκε ο «ο πρίγκηψ των μαθηματικών», ίσως ο «μεγαλύτερος μαθηματικός μετά τον Αρχιμήδη και τον Ευκλείδη», ο Γιόχαν Καρλ Φρίντριχ Γκάους. Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε σε πολλά ερευνητικά πεδία της επιστήμης του, όπως η θεωρία αριθμών, η στατιστική, η μαθηματική ανάλυση, η διαφορική γεωμετρία, αλλά και συναφών επιστημών, όπως η γεωδαισία, η αστρονομία και η φυσική (ηλεκτροστατική, οπτική, γεωμαγνητισμός)
Ίσως θα χετε ακούσει για τη λεγόμενη "κανονική κατανομή του Gauss", που αποτελεί την πιο σημαντική κατανομή της στατιστικής μεθοδολογίας.
Ένα πολύ σημαντικό θεωρητικό αποτέλεσμα της θεωρίας των πιθανοτήτων είναι το λεγόμενο "θεώρημα του κεντρικού ορίου", που δίνει τη θεωρητική εξήγηση για την επικράτηση αυτής της κανονικής κατανομής.
Το θεώρημα του κεντρικού ορίου δηλώνει ότι το άθροισμα (ή ο μέσος) μιας μεγάλης σειράς μετρήσεων ακολουθεί μια κανονική καμπύλη ακόμη κι αν οι ατομικές μετρήσεις δεν την ακολουθούν.
Τι σημαίνει αυτό;
Φανταστείτε ένα εργοστάσιο που παράγει μικρές μπαταρίες για παιχνίδια και υποθέστε ότι το εργοστάσιο διευθύνεται από ένα σαδιστή μηχανικό που φροντίζει ώστε γύρω στο 30% των μπαταριών να αδειάζουν μετά από πέντε μόνον λεπτά και το υπόλοιπο 70% να διαρκούν περίπου χίλιες ώρες πριν αδειάσουν. Η κατανομή της διάρκειας ζωής αυτών των μπαταριών δεν περιγράφεται προφανώς από μια κανονική κωδωνόσχημη καμπύλη, αλλά μάλλον από μια καμπύλη σχήματος U που αποτελείται από δύο αιχμές, μία στα πέντε λεπτά και μία μεγαλύτερη στις χίλιες ώρες.
Υποθέστε τώρα ότι οι μπαταρίες έρχονται από την αλυσίδα παραγωγής με τυχαία σειρά και συσκευάζονται σε κουτιά των τριάντα έξι τεμαχίων. Εάν θελήσουμε να προσδιορίσουμε τη μέση διάρκεια ζωής των μπαταριών ενός κουτιού, θα βρούμε πως είναι γύρω στις 700 ώρες, ας πούμε 709.
Εάν προσδιορίσουμε τη μέση διάρκεια ζωής των μπαταριών ενός άλλου κουτιού τριάντα έξι τεμαχίων, θα βρούμε πάλι πως είναι γύρω στο 700, ίσως 687.
Στην πραγματικότητα, εάν εξετάσουμε πολλά τέτοια κουτιά, ο μέσος των μέσων θα είναι πολύ κοντά στο 700, και το πιο συναρπαστικό είναι ότι η κατανομή αυτών των μέσων θα είναι περίπου κανονική (κωδωνόσχημη), με το σωστό ποσοστό κουτιών να έχει μέσο όρο μεταξύ 680 και 700, ή μεταξύ 700 και 720 και ούτω καθεξής.
Το θεώρημα του κεντρικού ορίου δηλώνει ότι σε μια μεγάλη ποικιλία περιστάσεων, αυτό θα συμβαίνει πάντοτε - οι μέσοι όροι και τα αθροίσματα μη κανονικά κατανεμημένων ποσοτήτων θα έχουν παρ’ όλα αυτά κανονική κατανομή.
Πίνακας με το πορτρέτο του Γκάους από τον Christian Albrecht Jensen (1792–1870) (και πληροφορίες από το βιβλίο αριθμοφοβία)
via@Γιώργος Γιώτης
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου